矩母函数简介（Moment-generating function）

在统计学中，矩母函数是一个关于随机变量的实值函数，它可以替代密度函数来描述分布。也就是说，出了概率密度函数外，我们也可以通过矩母函数来描述分布。对于某些概率密度函数和累计密度函数比较复杂的情况，我们使用矩母函数分析分布会大大降低复杂性，尤其是对于随机变量的加权求和来说，矩母函数可以提供非常简单的计算。当然，矩母函数出了是基于实值函数，也可以是基于向量和矩阵的，扩展性很好。但是，并不是所有的分布都存在矩母函数。

定义

在概率统计学中，某个随机变量$X$的矩母函数定义如下：

M_X(t) = E[e^{tX}], \space\space\space t\in R

当且仅当这个期望是存在的时候。换句话说，矩母函数可以认为是随机变量$e^{tX}$的期望。 $M_X(0)$永远存在，且必须等于1。定义这个函数的原因也是，通过这个函数，我们可以求出分布的所有高阶矩的结果，因为我们可以使用拉普拉斯变换。

e^{tX}=1+tX+\frac{t^2X^2}{2!} + \frac{t^3X^3}{3!} +  \cdots +\frac{t^nX^n}{n!}

因此有：

\begin{aligned}

M_X(t) &= E[e^{tX}] = 1 + tE(X)+\frac{t^2E(X^2)}{2!} + \frac{t^3E(X^3)}{3!} +  \cdots +\frac{t^nE(X^n)}{n!} \\

&\\

&= 1 + tm_1 + \frac{t^2m_2}{2!} + \frac{t^3m_3}{3!} + \cdots +  \frac{t^nm_n}{n!}

\end{aligned}

这里的$m_n$就是$n$-阶矩。 常见分布的矩母函数：

矩母函数的属性

1、矩母函数是正的且是log凸函数，其中M(0)=1 2、单值性，这是矩母函数最重要的一个性质。即当两个分布有相同的矩母函数的时候，这两个分布在所有点上的值都相同。即，如果：

M_X(t) = M_Y(t)

那么有：

F_X(x) = F_Y(y)

对于所有的$x$的值都成立。但是这句话不同于“如果两个分布具有相同的矩，那么他们在所有点上的值都相同”，因为某些情况下，矩存在，但是矩母函数不存在，因为有如下的限制：

\lim_{n\rightarrow \infty} \sum_{i=1}^n \frac{t^im_i}{i!}

这个式子的值可能是不存在的。log正态分布就是这个例子。