机器学习中的高斯过程

　　关于高斯过程，其实网上已经有很多中文博客的介绍了。但是很多中文博客排版实在是太难看了，而且很多内容介绍也不太全面，搞得有点云里雾里的。因此，我想自己发表一个相关的内容，大多数内容来自于英文维基百科和几篇文章。

来源1：https://en.wikipedia.org/wiki/Gaussian_process 来源2：Gaussian Processes in Machine Learning 来源3：Gaussian Processes for Regression and Classification: A Quick Introduction

　　我们还是先来个引言吧。随机过程是硕士研究生的课程了，很不幸，我就挂了。然而现在还是无可避免继续接触，只能说命里有时躲不掉啊:joy: :joy: :joy:。随机过程英文是stochastic process或者random process。在概率和统计中，随机过程是一个统计过程，它可以理解成一组随机变量的变化。简单说就是，有很多点，每个点都是一个随机变量，很多个随机变量点有次序的在一起就成了随机过程。所以可以说随机过程是一个关于时间t（连续区间可以是时间也可以是空间之类的）分布。每个t都有个对应的随机变量。当t是离散的时候，它就是一组随机变量的序列，比如markov chain。那么高斯过程就可以理解成每个t的值都是来自于一个高斯分布。高斯过程很重要，原因是它已经被研究的很成熟了，如果我们把问题用高斯过程建模，那么很多相关知识我们就已经知道了。高斯过程的应用有很多，可以作为贝叶斯推断的先验，也可以用来做回归和分类。 　　我们用如下的R语言代码生成了一个二维高斯分布。

　　我们说明一下符号：$$\mu=m(x\_{i}),i=1,..\.,n$$是训练集的均值。测试集均值为$$\mu\_{\*}$$。同样的，训练集的协方差我们使用$$\sum\_{\*}$$，测试集的协方差为$$\sum\_{\*\*}$$。假设训练集的**f**已知，我们感兴趣的是**f**$$\_{\*}$$的条件概率（公式6）： ```math f_{*}|f \sim N(\mu_{*}+\sum^{T}_{*}\sum^{-1}(f-\mu),\sum_{**}-\sum^{T}_{*}\sum^{-1}\sum_{*}) ``` 　　这是特定测试集下的后验分布。很容易验证相应的后验过程是（公式7）： ```math f|D \sim gp(m_{D},k_{D}) ``` ```math m_{D}(x) = m(x)+\sum(X,x)^{T}\sum^{-1}(f-m) ``` ```math k_{D}(x,x') = k(x,x')-\sum(X,x)^{T}\sum^{-1}\sum(X,x') ``` 　　其中，$$\sum(X,x)$$是训练集与$$x$$的协方差向量。这些就是高斯过程预测的核心公式。我们来看一下后验均值和方差。注意到后验方差$$k\_{D}(x,x)$$等于先验$$k(x,x)$$减去一个正值，改正直依赖于训练数据的输入。因此后验方差总是小于先验方差，原因是数据给了我们额外的信息（信息越多，方差应该越小）。 　　同时，我们还是有一个问题需要解决，即训练集的噪音问题。在回归问题中有很多观测量是有噪音的。最常见的假设是它们是独立同分布的。输出具有高斯噪音。在高斯过程模型中，这样的噪音很容易考虑。即每一个$$f(x)$$都有个额外的协变量，其大小等于噪音的方差（以下为公式8）：