线性回归的符号表示和相关公式
线性回归的目标是将一堆数据一分为二，如果数据是二维空间的点，那就找出一条直线将这些点一分为二，如果是三维空间的点，那就找出一个平面，如果是高维空间的点，那就找出一个超平面。这篇博客主要是描述线性回归的数学描述，主要是呈现线性回归相关的符号表示。提醒一点，在深度学习中，通常使用列向量表示一个数据，而在线性回归中，为了和大家保持一致，我们采用行向量表示一个数据点。
一、数据的表示
如下图，以二维空间的点为例，我们要找出一条直线：
扩展到高维，即每个数据点有$n$个维度，那么，其超平面的表示形式为：
\begin{aligned}
y &= x_1\beta_1+\cdots+x_n\beta_n+\beta_0 \\
\\
& = \sum_{j=1}^n x_j\beta_j + \beta_0
\end{aligned}
对于一组$m$个数据，扩展到多维数据之后，假设我们有一组数据$\bold{X}=\{\bold{x_1},\cdots,\bold{x_m}\}$，它总共有$m$个，每一个数据$\bold{x}$都是一个行向量，维度是$n$，那么第$i$个数据$\bold{x_i}$及其对应的标签$y_i$的形式如下：
(x_{i1},\cdots,x_{ij},\cdots,x_{in},y_i)
向量形式：
(\bold{x}_i,y_i)
每一个数据$\bold{x}$都对应一个标签$y$，所有的标签集合在一起是一个维度为$(m,1)$的向量：
\bold{y}=(y_1,\cdots,y_i,\cdots, y_m)^T
上述数据的形式可以表示如下：
(\bold{X},\bold{y})
=
(
\bold{x_{1}},\cdots,\bold{x_{i}},\cdots,\bold{x_{m}, \bold{y}}
)^T
=
\begin{bmatrix}
x_{11},\cdots,x_{1j},\cdots,x_{1n},y_1 \\
\cdots,\cdots,\cdots,\cdots,\cdots \\
x_{i1},\cdots,x_{ij},\cdots,x_{in},y_i \\
\cdots,\cdots,\cdots,\cdots, \cdots \\
x_{n1},\cdots,x_{nj},\cdots,x_{nj}, y_n
\end{bmatrix}
注意，上述矩阵一个行是一个数据，这样的表示与神经网络或深度学习中的表示不一致。
二、线性回归的表示
根据上述数据的高维形式，线性回归的目标是寻找一个超平面来最佳拟合上述数据，使得各个数据点的残差平方和最小。该超平面的形式如下：
\hat{y} = \bold{x} \bold{\beta}^T+b = \sum_{j=1}^n x_j\beta_j + \beta_0
也就是说，线性回归的目标是求出回归系数（regression coefficient），这也是一个行向量：
\bold{\beta} =(
\beta_1,
\cdots,
\beta_j,
\cdots,
\beta_n
)
和偏差$\beta_0$。而$\hat{y}$则是针对数据$\bold{x}$的预测结果。
那么，对于上述数据，线性回归的矩阵形式如下：
\hat{\bold{y}} = \bold{X}\bold{\beta}^T+\bold{\beta}_0
这里的符号都加粗了，因此都是向量的形式。其中$\hat{\bold{y}}$表示预测结果，是维度$(m,1)$的向量，$\bold{X}$表示所有数据，其维度是$(m,n)$，$\bold{\beta}$是回归系数（regression coefficient），其维度是$(1,n)$，$\bold{w}^T$是$\bold{w}$的转置，因此，$\bold{\beta}^T\bold{X}$的结果的维度就是$(m,1)$，$\bold{\beta}_0$表示偏差，其维度也是$(m,1)$，其实这$m$个$\beta_0$都是一样的，因此：
\bold{\beta}_0 =
(
b,
\cdots,
b,
\cdots,
b
)
有的时候，我们会把预测的偏差也和回归系数放到一起：
\hat{y} = \bold{x}\bold{\beta}^T+\beta_0 x_0 = \sum_{j=0}^n \beta_j x_j
这里的$x_0=1$，因此：
\bold{\hat{y}} = \bold{X}\bold{\beta}^T
