最小二乘法（Least Squares）详细介绍

最小二乘法（Least Squares）是回归分析中的一种标准方法，它是用来近似超定系统（Overdetermined System）答案的一种方法。超定系统是指数学中的一种概念，一组包含未知数的方程组中，如果方程的数量大于未知数的数量，那么这个系统就是一个超定系统（超定方程组）。超定系统（超定方程组）一般是无解的，只能求近似解。而最小二乘法就是求超定方程组近似解的一种方法。

举个通俗的例子，如下二维平面图中有很多个点，假设我们想用一条直线来拟合数据，即期望能找到一条直线能最好地穿过这些数据点。

那么图中，一个点就可以构造一个方程，而未知数显然只有两个（直线的斜率和截距），因此这就是一个超定系统，我们是没有办法找到一条完美的直线，使得上述的点都在直线上。因此，我们只能期望找到一条最好的“适配（best fitting line）”直线来拟合这些数据。那么，什么样的直线才是我们需要的呢？在定义这样的直线之前，我们先定义一些变量：

首先，使用$y_i$表示数据$x_i$的观测结果，即真实值，或者是观测的响应变量（observed response）。 其次，$x_i$表示第$i$个数据，即第$i$个预测变量（predictor value） 最后，$\hat{y}_i$表示第$i$个数据的实验结果，即预测的响应变量（predicted response）。