普通最小二乘法（Ordinary Least Squares，OLS）的详细推导过程

在统计学中，普通最小二乘法（OLS）是一种用于在线性回归模型中估计未知参数的线性最小二乘法。 OLS通过最小二乘法原则选择一组解释变量的线性函数的参数：最小化给定数据集中观察到的因变量（被预测变量的值）与预测变量之间残差的平方和。这篇博客将简要描述其参数的求解过程（模型的表示参考：最小二乘法简介）。

我们以一个二元数据为例，假设有一组数据$X=\{(x_1,y_1),\cdots,(x_m,y_m)\}$，我们希望求出一条直线，来拟合这一组数据：

y = x\beta + \beta_0

残差平方和：

S(\beta) = \sum_{i=0}^m (y_i - x_i\beta - \beta_0)^2

我们要求出$\beta$和$\beta_0$使得上述目标函数取得最小值，显然，可以通过对$\beta$和$\beta_0$分别求偏导得到：

\begin{aligned}
\frac{\partial S(\beta)}{\partial\beta} &= \sum_{i=1}^m2(y_i-x_i\beta-\beta_0)(-x_i) \\
\\
& = \sum_{i=1}^m(-2)(x_iy_i - x_i^2\beta - \beta_0x_i) \\
\\
& = 2\sum_{i=1}^m(x_i^2\beta+\beta_0x_i - x_iy_i) \\
\end{aligned}

\begin{aligned}
\frac{\partial S(\beta)}{\partial\beta_0} &= \sum_{i=1}^m2(y_i-x_i\beta-\beta_0)(-1) \\
\\
& = \sum_{i=1}^m(-2)(y_i - x_i\beta - \beta_0) \\
\\
& = 2\sum_{i=1}^m(x_i\beta+\beta_0 - y_i) \\
\\
& = 2(m\beta  \frac{\sum_{i=1}^m(x_i)}{m} + m\beta_0 - m\frac{\sum_{i=1}^my_i}{m}) \\
\end{aligned}

令$\bar{x} = \frac{\sum_{i=1}^m(x_i)}{m}$，$\bar{y}=\frac{\sum_{i=1}^my_i}{m}$

那么，上述第二个偏导结果：

\frac{\partial S(\beta)}{\partial\beta_0} = 2 m (\beta \bar{x} + \beta_0 -  \bar{y})

令第二个偏导等于0：

\begin{aligned}
2 m (\beta \bar{x} + \beta_0 -  \bar{y}) &= 0 \\
\\
\beta_0 =  \bar{y} - \beta\bar{x}
\end{aligned}

令上述第一个偏导结果等于0，并带入上述$\beta_0$有：

\begin{aligned}
\frac{\partial S(\beta)}{\partial\beta} &= 0\\
\\
2\sum_{i=1}^m[x_i^2\beta+(\bar{y} - \beta\bar{x})x_i - x_iy_i] &= 0 \\
\\
\beta(\sum_{i=1}^mx_i^2 - \bar{x}\sum_{i=1}^mx_i) &= \sum_{i=1}^mx_iy_i - \bar{y}\sum_{i=1}^mx_i \\
\\
\beta &= \frac{\sum_{i=1}^mx_iy_i - \bar{y}\sum_{i=1}^mx_i}{\sum_{i=1}^mx_i^2 - \bar{x}\sum_{i=1}^mx_i}\\
\\
\beta &= \frac{\sum_{i=1}^mx_iy_i - \bar{y}\sum_{i=1}^mx_i - m\bar{y}\bar{x} + m \bar{y}\bar{x}}{\sum_{i=1}^mx_i^2 - 2\bar{x}\sum_{i=1}^mx_i+ \bar{x}\sum_{i=1}^mx_i} \\
\\
\beta &= \frac{\sum_{i=1}^mx_iy_i - \bar{y}\sum_{i=1}^mx_i - \sum_{i=1}^my_i\bar{x} + m \bar{y}\bar{x}}{\sum_{i=1}^mx_i^2 - 2\bar{x}\sum_{i=1}^mx_i+ m\bar{x}^2} \\
\\
\beta &= \frac{\sum_{i=1}^m(x_iy_i - \bar{y}x_i - y_i\bar{x} + \bar{y}\bar{x})}{\sum_{i=1}^m(x_i - \bar{x})^2} \\
\\
\beta &= \frac{\sum_{i=1}^m(x_i-\bar{x})(y_i - \bar{y})}{\sum_{i=1}^m(x_i - \bar{x})^2} \\
\end{aligned}

这样，$\beta$和$\beta_0$就可以求出来了。

对于多元形式，则可以运用矩阵运算来求解。如上所述，我们的目标函数是：

S(\bold{\beta}) = \sum_{i=1}^m |y_i - \sum_{j=1}^n x_{ij}\beta_j|^2 = ||y-  \bold{X} \bold{\beta}^T||^2

如果要使上述目标函数最小，显然其结果为0，即：

y-  \bold{X} \bold{\beta}^T = 0

也就是说：

\begin{aligned}
\bold{X}\beta^T &= y \\
\\
\bold{X}^T\bold{X}\beta^T &= \bold{X}^Ty \\
\\
(\bold{X}^T\bold{X})^{-1}\bold{X}^T\bold{X}\beta^T &= (\bold{X}^T\bold{X})^{-1}\bold{X}^Ty \\
\\
\beta^T &= (\bold{X}^T\bold{X})^{-1}\bold{X}^Ty \\
\end{aligned}

也就是说，普通最小二乘法在多元情况下只要求出上述矩阵计算的结果即可。不需要迭代。